In this paper, we provide refined sufficient conditions for the quadratic Chabauty method to produce a finite set of points, with the conditions on the rank of the Jacobian replaced by conditions on the rank of a quotient of the Jacobian plus an associated space of Chow-Heegner points. We then apply this condition to prove the finiteness of this set for any modular curves $X_0^+(N)$ and $X_{\rm{ns}}^+(N)$ of genus at least 2 with $N$ prime. The proof relies on the existence of a quotient of their Jacobians whose Mordell-Weil rank is equal to its dimension (and at least 2), which is proven via analytic estimates for orders of vanishing of L-functions of modular forms, thanks to a Kolyvagin-Logachev type result.

La méthode de Baker, basée sur des estimations des formes linéaires de logarithmes de nombres algébriques, permet de prouver dans de multiples situations la finitude effective d'ensembles de points entiers de variétés algébriques. Dans cet article, nous généralisons des résultats de Levin sur la méthode de Baker pour les variétés, et expliquons comment, de manière inattendue, elle peut se combiner (sous des hypothèses supplémentaires) avec la méthode de Runge pour améliorer certaines estimations y compris dans le cas des courbes, en évitant (ou du moins réduisant) le recours aux formes linéaires de logarithmes $p$-adiques.

Nous trouvons tous les groupes de points de torsion possibles de $\Q$-courbes sur des corps quadratiques et déterminons lesquels apparaissent finiment ou infinimenent souvent.

La méthode de Runge est un outil pour déterminer les points entiers sur certaines courbes de manière effective en termes de hauteur. Elle a été généralisée à des variétés de dimension quelconque, mais ses conditions d'application sont alors souvent trop restrictives. Dans cet article, nous donnons une généralisation supplémentaire conçue pour plus de flexilibilité tout en restant effective, et en donnons un exemple d'application sous forme d'un résultat de finitude de points entiers sur certaines variétés modulaires de Siegel. En particulier, nous obtenons finalement un résultat de finitude totalement explicite pour les points entiers de la variété modulaire de Siegel $A_2(2)$.

Nous présentons des résultats sur les points entiers de certaines variétés modulaires. Ceux-ci sont basés sur une généralisation de la méthode dite de Runge en dimension supérieure, que nous commençons par expliquer. En particulier, nous obtenons un résultat explicite dans le cas de la variété modulaire de Siegel $A_2(2)$.

Nous prouvons que pour $d \in \{ 2,3,5,7,13 \}$ et $K$ un corps quadratique réel (ou rationnel) de discriminant $D$ et caractère de Dirichlet $\chi$, si un nombre premier $p$ est assez grand par rapport à $D$, il existe une forme nouvelle $f \in S_2(\Gamma_0(dp^2))$ de signe $(+1)$ pour l'involution d'Atkin-Lehner $w_{p^2}$ telle que $L(f \otimes \chi,1) \neq 0$. Ce résultat est obtenu grâce à une estimation de sommes pondérées de tordues de fonctions L, qui généralise un résultat d'Ellenberg. Celle-ci se base sur une 'équation fonctionnelle approchée pour les fonctions $L(f \otimes \chi, \cdot)$ et une formule des traces de Petersson restreinte aux espaces propres pour les involutions d'Atkin-Lehner. Une application de ce théorème de non-annulation est donnée en termes d'existence de quotient rang zéro de certaines tordues de jacobiennes tordues, ce qui généralise un résultat de Darmon et Merel.

Nous prouvons dans cet article un résultat de surjectivité uniforme pour les représentations galoisiennes associées à des $\Q$-courbes non CM sur des corps quadratiques imaginaires, en utilisant divers outils tels que la méthode de Mazur, des théorèmes d'isogénie, la méthode de Runge et des estimations analytiques de sommes de fonctions L.

Cette thèse porte sur l'étude des points entiers et rationnels de certaines courbes et variétés modulaires. Après une brève introduction décrivant les motivations et le cadre de ce genre d'études ainsi que les résultats principaux de la thèse, le manuscrit se divise en trois parties.

Le premier chapitre s'intéresse aux $\Q$-courbes, et aux morphismes $\operatorname{Gal}(\Qb / \Q) \rightarrow \operatorname{PGL}_2(\Fp)$ qu'on peut leur associer pour tout $p$ premier. Nous montrons que sous de bonnes hypothèses, pour $p$ assez grand par rapport au discriminant du corps de définition de la $\Q$-courbe, ce morphisme est surjectif, ce qui résout un cas particulier du problème d'uniformité de Serre (toujours ouvert en général). Les outils principaux du chapitre sont la méthode de Mazur (basée ici sur des résultats d'Ellenberg), la méthode de Runge et des théorèmes d'isogénie, suivant la structure de preuve de Bilu et Parent.

Le second chapitre consiste en des estimations analytiques de sommes pondérées de valeurs de fonctions $L$ de formes modulaires, dans l'esprit de techniques développées par Duke et Ellenberg. La motivation de départ d'un tel résultat est l'application de la méthode de Mazur dans le premier chapitre.

Le troisième chapitre est consacré à la recherche de généralisations de la méthode de Runge pour des variétés de dimension supérieure. Nous y redémontrons un résultat de Levin inspiré de cette méthode, avant d'en prouver une forme assouplie dite « de Runge tubulaire », plus largement applicable. Dans l'optique de recherche de points entiers de variétés modulaires, nous en donnons enfin un exemple d'utilisation à la réduction d'une surface abélienne en produit de courbes elliptiques.

Mots-clés

Courbes elliptiques, courbes modulaires, représentations galoisiennes, problème d' uniformité de Serre, méthode de Mazur, théorèmes d'isogénie, formule des traces de Petersson, méthode de Runge, variétés modulaires de Siegel, fonctions thêta.